Paradoksit ovat ristiriitaisia väitteitä ja näennäisesti loogisia perusteluja, jotka johtavat epäloogisiin tai järjenvastaisiin päätelmiin. Tässä jutussa käydään läpi tieteen suurimpia paradokseja 2 500 vuoden ajalta.
Logiikka
Valehtelijan paradoksi paljastaa, että väite voi olla osittain tosi tai epätosi. Siihen perustuvan tietokonelogiikan ansiosta esimerkiksi robottien päätöksenteko toimii ihmismäisemmin.
Valheet inhimillistävät tietokoneita
Muotoiltiin: 400 eaa.
”Tämä lause on epätosi” on yksi niin sanotun valehtelijan paradoksin muotoilu. Siinä väite tuottaa katkeamattoman kehäviittausten ketjun, sillä jos lause on epätosi, se on tosi, mutta jos se on tosi, se on epätosi.
Paradoksin takana on antiikin kreikkalainen Eubulides, joka esitti kysymyksen: ”Kun mies sanoo valehtelevansa, puhuuko hän totta vai ei?” Ristiriitaisuuksien ketjua voidaan jatkaa niin, että syntyy useita väitteitä, kuten ”Seuraava lause on tosi. Edeltävä lause on epätosi.”
Paradoksi on johtanut siihen, että osa ajattelijoista on hylännyt ajatuksen kaksiarvoisesta logiikasta, siis siitä, että väite on joko tosi tai epätosi. Sen sijaan sallitaan kaikki kahden ääripään väliset arvot. Esimerkiksi lause voi olla osittain tosi tai kaksi kuvaa voivat olla osittain yhtenevät. Tätä lähestymistapaa sovelletaan muun muassa kasvojentunnistuksessa.
Tunnetuin ei-kaksiarvoisen logiikan muoto on sumea logiikka. Sitä sovelletaan neuroverkkojen ja tekoälyn ohjelmoinnissa, sillä se jäljittelee ihmisen intuitiivisia päätöksentekoprosesseja.
Geometria
Mahdoton kolmikulmio on mahdollinen todellisuudessa vain, kun kuviota katsotaan tietystä kulmasta (pieni kuva).
Mahdoton kolmio huijaa aivoja
Muotoiltiin: 1934
”Mahdottomuus puhtaimmillaan” oli brittiläisen matemaatikon Roger Penrosen nimitys kuviolle. Mahdottoman kolmion piirsi ensimmäisenä ruotsalainen graafikko Oscar Reutersvärd vuonna 1934, ja siitä tekivät tunnetun Penrose ja alankomaalainen taiteilija Escher. Kuvio on optinen harha, joka muistuttaa avaruudellista kolmiulotteista kolmikulmiota, kun se piirretään kaksiulotteisena, mutta sitä ei voi olla olemassa todellisuudessa kolmiulotteisena.
Äkkiseltään kolmio vaikuttaa järjen mukaiselta, mutta sen sivuja on mahdoton seurata katseella koko kierrosta. Esimerkiksi alin palkki näyttää olevan kolmion huipun edessä ja takana.
Tietoisuuden tutkijat ovat selvittäneet aivojen kykyä havaita mahdoton kolmio kolmiulotteisena senkin jälkeen, kun optinen harha on tulkittu. Kokeet tukevat psykologian teoriaa, jonka mukaan ihmisen tiedonkäsittelyjärjestelmät jakautuvat osittain itsenäisiin yksiköihin. Näköyksikkö pitää siis edelleen kolmiota kappaleena, vaikka tietoisuus on paljastanut petoksen.
Fysiikka
Akhilleus antaa kilpikonnalle 100 metriä etumatkaa. Kun hän juoksee 100 metriä, kilpikonna ehtii 10 metriä kauemmaksi. Kun hän juoksee 10 metriä, kilpikonna ehtii metrin kauemmaksi jne. Akhilleus ei saavuta koskaan kilpikonnaa.
Juoksija ei saavuta koskaan kilpikonnaa
Muotoiltiin: 400 eaa.
Sankarihahmo Akhilleus haastaa kilpikonnan juoksukilpailuun. Hän on varma voitostaan ja antaa kilpikonnalle sadan metrin etumatkan.
Kun Akhilleus on juossut etumatkan verran, kilpikonna on kulkenut kymmenen metriä eteenpäin. Kun Akhilleus juoksee seuraavat kymmenen metriä, kilpikonna on metrin päässä. Kun Akhilleus on juossut metrin, etäisyys kilpikonnaan on kymmenen senttiä jne.
Päätelmäksi tulee, että Akhilleus ei saavuta koskaan kilpikonnaa, vaikka välimatka lyhenee lyhenemistään. Järki sanoo kuitenkin, että ajattelutavassa on jotain vikaa, ja moderni matematiikka osoittaa näin juuri olevan.
Nykyajan matemaatikot ovat ratkaisseet ongelman raja-arvolla. Kun paradoksin isä, Zenon, eli, puolet matkasta miinus neljäsosa miinus kahdeksasosa jne. ei koskaan tuottanut tulokseksi nollaa. Nykyään tiedetään, että 0,0...1 – jossa pisteet edustavat ääretöntä määrää nollia – on yhtä kuin 0, koska lukua 1 ei saavuteta koskaan.
Matematiikka
Maailmankaikkeus on jo ääretön, mutta silti se laajenee jatkuvasti. Jotkin äärettömyydet ovat siis muita suurempia.
On olemassa erikokoisia äärettömyyksiä
Muotoiltiin: 1873
Arkikäsityksen mukaan kokonaisuus on aina suurempi kuin sen osat, mutta matematiikassa asiat nähdään toisin. Paradoksi paljastuu, kun tarkastellaan lukuja.
Lukuja, jotka voivat ilmaista etäisyyden suoralla, kutsutaan reaaliluvuiksi. Nämä luvut voidaan esittää desimaalilukuina, joissa saattaa olla loputtomasti merkityksellisiä numeroita. 2 ja 78,4297 ja pii (3,14...), joka ilmaisee ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen, ovat reaalilukuja.
On mahdollista todistaa matemaattisesti, että pelkästään 0:n ja 1:n välillä on lukematon määrä reaalilukuja. Toisin sanoen enemmän kuin voidaan laskea luonnollisilla luvuilla – kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla, kuten 1, 2, 27 ja 158 – , jotka myös muodostavat äärettömän joukon. Luonnollisten lukujen ääretön joukko on niin ikään reaalilukujen äärettömän joukon osajoukko.
Niinpä on olemassa useanlaisia äärettömyyksiä, joista jotkin ovat toisia suurempia. Asian osoitti saksalainen matemaatikko Georg Cantor hänen mukaansa nimetyllä matemaattisella todistuksella, jonka hän esitti laskiessaan 1800-luvun lopulla modernin joukko-opin perustan.
Sekä osajoukko että kokonaisuus ovat äärettömiä
Luonnollisten lukujen (1, 2, 3 jne.) joukko on reaalilukujen (suuri ympyrä) osajoukko, mutta molemmat joukot ovat äärettömiä. On siis olemassa erilaisia äärettömyyksiä, ja jotkin äärettömyydet ovat muita suurempia.
Luonnolliset luvut
Luonnollisia lukuja ovat kaikki ne positiiviset kokonaisluvut, joilla arjessa lasketaan. Matematiikan eri osa-alueilla on omat käsityksensä siitä, onko 0 luonnollinen luku.
Kokonaisluvut
Kokonaislukuja ovat kaikki ne luvut, jotka voidaan kirjoittaa käyttämättä desimaaleja tai murtolukuja. Kokonaislukuihin kuuluvat siten myös 0 ja negatiiviset luvut.
Rationaaliluvut
Rationaalilukuja ovat kaikki kokonaisluvut, kaikki murtoluvut ja kaikki ne luvut, jotka voidaan ilmaista kokonaislukujen ja murtolukujen yhdistelmänä.
Reaaliluvut
Reaalilukuja ovat kaikki ne luvut, jotka voidaan kirjoittaa päättyvinä tai päättymättöminä desimaalilukuina. Esimerkiksi pii (π) – 3,14159265… – on reaaliluku.
Cantorin idea erilaisista äärettömyyksistä perustui italialaisen matemaatikon ja fyysikon Galileo Galilein työhön. Galilei oivalsi, että vaikka neliölukujen (1, 4, 9, 16 jne.) joukko on luonnollisten lukujen osajoukko, kummankin joukon pitää olla yhtä suuri. Jokainen luonnollinen luku voidaan nimittäin parittaa oman neliölukunsa kanssa, siis 1 ja 1, 2 ja 4, 3 ja 9 jne.
Universumi osoittaa, että myös fyysisessä maailmassa on useanlaisia äärettömyyksiä. Havaintojen valossa näyttää nimittäin siltä, että kaikkeus on jo ääretön ja se laajenee jatkuvasti.
Filosofia
Theseuksen laivaa korjataan vaihtamalla kaikki osat yksi kerrallaan. Lopulta alkuperäisestä laivasta ei ole jäljellä mitään.
Theseuksen laivasta tuli kaksi laivaa
Muotoiltiin: 500 eaa.
Kreikkalaisen taruston kuningas ja sankari Theseus purjehti Kreetasta kotiin laivalla, ja laiva lojui sitten satoja vuosia Ateenan satamassa. Laiva oli säiden armoilla, ja sitä korjattiin vaihtamalla osa toisensa jälkeen. Lopulta alkuperäisestä laivasta ei ollut jäljellä mitään. Oliko se enää sama laiva? Oliko kyse uudesta laivasta? Ja milloin laiva vaihtui, jos se vaihtui?
Asiaa pohtivat muun muassa Herakleitos, Platon ja Plutarkhos. Paradoksi ilmentää identiteetin säilymisen ja muuttumisen ongelmaa, ja sillä on myös merkitystä ihmiskäsitykselle. Mikä oikeastaan pitää meidät samoina yksilöinä koko elämän ajan, kun vain pieni osa soluista on olemassa syntymästä kuolemaan? Ja mitä sitten tapahtuisi, kun yksilön tietoisuus voitaisiin kopioida tietokoneeseen?
Brittiläinen filosofi Thomas Hobbes mutkisti paradoksia lisäämällä siihen merimiehen, joka ottaa talteen kaikki Theseuksen laivasta poistetut osat ja rakentaa niistä uuden laivan. Kumpi on aito Theseuksen laiva?
Aikamatkat
Elokuvassa Paluu tulevaisuuteen päähenkilö matkustaa taaksepäin ajassa varmistaakseen vanhemmilleen onnellisemman nykyisyyden. Tutkijoiden mukaan menneisyys johtaa kuitenkin aina alkuperäiseen nykyisyyteen.
Syy-seuraussilmukalla ei ole alkua
Muotoiltiin: 1781
Ilmestyt yhtäkkiä vanhempana, ja sinulla on tarkat aikakoneen piirustukset, joiden mukaan voit rakentaa aikakoneen myöhemmin eli sitten, kun olet vanhemman minäsi ikäinen, ja siirtyä sillä piirustukset omistavan nuoremman minäsi luo.
Tarina kuvaa syy-seuraussilmukan, jolla ei ole alkupistettä. Paradoksi liitetään Rudolf Erich Raspeen, joka tunnetaan paroni von Münchhausenista kertovasta tarinakokoelmasta. Kun paroni nosti itsensä pystyyn vetämällä itseään tukasta, hän oli sekä syy että seuraus.
Syy-seuraussilmukat ovat tavallisia aikamatka-aiheisessa viihteessä, mutta ne ovat myös tutkimuskohteita. Vuonna 2020 Queenslandin ylliopiston tutkijat julkaisivat artikkelin, jossa todistettiin matemaattisesti todellisuuden korjaavan itseään niin, ettei silmukka johda paradoksiin.
Tutkijat uskovat, että vaikka alkuperäinen syy, kuten ensimmäinen koronavirustartunnan saanut henkilö, poistetaan, myöhempi kehitys pyrkii kohti reaalista nykyisyyttä. Siitä seuraa, että toisesta henkilöstä tulee ensimmäinen tartunnansaaja ja että tapahtumasarja muistuttaa siitä huolimatta enimmäkseen alkuperäistä menneisyyttä.