Our website does not support Internet Explorer.

To get the best experience on our website and of our content, please use a more modern browser like Edge, Chrome, Safari or similar.

Äärettömyys on käärme fysiikan paratiisissa

Ajattelijat ovat vuosituhansien ajan pohtineet äärettömyyden käsitettä. Ovelan käärmeen tavoin se kiemurtelee kaikkialle matematiikkaan, mutta aina kun se nostaa päätään fysiikassa, syntyy hankalia paradokseja. Sata vuotta sitten matemaatikot oppivat laskemaan äärettömillä joukoilla mutta yksi keskeinen kysymys on yhä vastausta vailla: onko äärettömyys vain lukujen teoreettisen maailman käsite vai osa todellisuutta?

Shutterstock

Sata vuotta sitten sydänkohtaus vei hengen yhdeltä historian suurimmista matematiikan neroista. Georg Cantor menehtyi 6. tammikuuta 1918 Hallen kaupungin psykiatrisessa sairaalassa Saksassa.

Hän oli viettänyt siellä ensimmäisen maailmansodan varjossa viimeiset vuotensa kärsien köyhyydestä, nälästä ja häntä jo vuosikymmeniä piinanneesta masennuksesta.

Ei tiedetä, pitikö Cantor itse itseään tieteenalansa merkittävänä edustajana. Valtaosan hänen uransa ajasta häntä arvosteltiin ja vastustettiin, mikä sai hänet toistuvasti epäilemään omia saavutuksiaan.

Cantorin ajan matemaatikot pitivät hänen ajatuksiaan pähkähulluina. Hän väitti muun muassa, että ei ole olemassa vain yhden- vaan kahdenlaista äärettömyyttä.

Cantorin nykykollegat ovat kuitenkin yhtä mieltä siitä, että hänen panoksensa matematiikassa on korvaamaton, koska hän esitti aivan uudenlaisen näkökulman äärettömyyden käsitteeseen.

Cantorin saavutusten ymmärtämiseksi on palattava ajassa vuosituhansia taaksepäin, tai ehkä vielä sitäkin kauemmas.

Ajatus äärettömyydestä on saattanut askarruttaa ihmisiä siitä alkaen, kun esivanhempamme alkoivat tähyillä taivaalle ja pohtia, miten kaukana tähdet ovat ja mitä niiden takana on.

Äärettömyys ajatuksena on huimaava, ja paradoksaalista siinä on se, että se toisaalta pelottaa ja toisaalta siltä ei kuitenkaan voida välttyä.

Käsitys universumin äärettömyydestä synnyttää reaktion ”täytyyhän sen jossain loppua”. Toisaalta taas on vaikea hyväksyä äärellistä universumia, koska se nostaa heti mieleen kysymyksen ”mitä sen ulkopuolella sitten on”.

© DEA/A. DAGLI ORTI/Getty

"Luonto kammoaa äärettömyyttä, koska äärettömyys on epätäydellistä ja luonto tavoittelee aina rajoja."

Aristoteles (384–322 eaa.) torjui ajatuksen siitä, että äärettömyyttä olisi todellisessa maailmassa.

Paradoksi ei hävinnyt senkään jälkeen, kun keksittiin luonnon­tieteiden perustyökalu, matematiikka. Siinä äärettömyyteen törmätään monissa kohdissa, mutta tarkoittaako se sitä, että äärettömyys myös on osa fysiikkaa?

Useimmat fyysikot vastaisivat ei. Kun he kehittävät teorioita, joiden on määrä kuvata todellisuutta, ja huomaavat, että yhtälöihin sisältyy äärettömyyksiä, he pitävät sitä yleensä merkkinä siitä, että teoriassa täytyy olla jotain vikaa.

Toisaalta matematiikka on osoittautunut luonnon kuvaamisessa välttämättömäksi työkaluksi, joten miksi olisi olemassa tämä ero teorian ja todellisuuden – eli matematiikan ja fysiikan – välillä?

Äärettömyyden tajuaa lapsikin

Äärettömyys ei kuulu vain monimutkaiseen ja edistyneeseen matematiikkaan. Lapsen ei tarvitse olla kovinkaan vanha oppiakseen laskemaan, ja pian lapsi voikin kysyä, mikä on maailman suurin luku.

Tuhat, miljoona, miljardi – tai ehkä biljoona tai triljoona? Pian selviää, että lukujono jatkuu myös yli suurimpien nimettyjen lukujen – esimerkiksi yli googolin, jossa numeroa yksi seuraa sata nollaa, tai yli googolplexin, joka on 10googol.

Mikään luku ei ole ääretöntä suurempi. Koulussa törmätään äärettömyyksiin jo alaluokilla, kun käsitellään murto- ja desimaalilukuja.

Yksinkertainen murtoluku 1/3 voidaan kirjoittaa myös muotoon 0,333333…, ja opitaan, että nollan jälkeen tulee loputtomasti kolmosia.

Samoin jo koulun ensimmäisissä geometrian kirjoissa kerrotaan, että viiva koostuu äärettömästä määrästä pisteitä, joilla kullakin on äärettömän pieni ulottuvuus.

Vähän myöhemmin opitaan äärettömän merkki, makaava kahdeksikko ∞, joka ilmeisesti symboloi itseään häntään purevaa käärmettä.

Koulu siis opettaa, että äärettömyys on matematiikan maailmassa tunnettu ja hyväksytty käsite.

Matemaattinen oivallus hukutti keksijänsä

Antiikin Kreikassa ensimmäiset äärettömyyden pohdinnat koituivat hengenmenoksi. Yksi matematiikan isistä, vuosina 570–495 eaa. elänyt Pythagoras, oli monitaituri, joka toimi muun muassa filosofian, matematiikan ja musiikin – ja mieluiten yhtaikaa näiden kaikkien – saralla.

Hän perusti pythagoralaisten veljeskunnan, joka koostui hänen oppilaistaan ja kannattajistaan. Nykyään pythagoralaisista tiedetään vain vähän, koska veljeskunta oli salainen ja sen jäsenillä oli vaitiolovelvollisuus.

Joillakin alueilla veljeskunta oli aikaansa edellä. Se esimerkiksi puolusti tasa-arvoa, joten naiset olivat veljeskuntaan yhtä tervetulleita kuin miehetkin.

Suvaitsevaisuus loppui kuitenkin pian, jos joku kyseenalaisti vallitsevia matemaattisia totuuksia – ainakin, jos uskotaan kertomusta yhdestä Pythagoraan oppilaasta, Hippasoksesta.

Venematkalla Välimerellä Hippasos kertoi veljeskunnan jäsenille ajatuksista, joita hän oli kehitellyt nykyään Pythagoraan lauseeksi kutsutusta teoreemasta: suorakulmaisen kolmion sivujen välillä on yhteys siten, että hypotenuusan pituuden neliö (pituus kerrottuna itsellään) on yhtä suuri kuin kateettien pituuksien neliöiden summa.

Hippasos oli tehnyt laskelmia yksinkertaisesta kolmiosta, jossa kateettien pituus oli 1, ja oli päätynyt siihen, ettei hypotenuusan pituutta voitu kuvata kokonaisluvulla – eikä edes murtoluvulla.

Sen sijaan pituus on √2. Hippasos viihdytti matkalaisia esittämällä matemaattisia todisteita siitä, että ei ole yhtään kokonaislukua eikä murtolukua, joka kerrottuna itsellään tuottaisi tulokseksi 2.

Sitä hänen ei olisi pitänyt tehdä. Toiset pythagoralaiset tyrmistyivät niin, että he paiskasivat Hippasoksen laidan yli ja jättivät hänet hukkumaan.

Pythagoralaisten päättely ei osunut oikeaan, ja nykyään tiedetään, että Hippasos oli oikeassa. √2 on niin sanottu irrationaaliluku.

Se voidaan kirjoittaa desimaalilukuna 1,414213562373095, jos päätetään lopettaa 15. desimaalin kohdalla.

Desimaalit kuitenkin jatkuvat, eikä niissä ole minkäänlaista ennustettavuutta, kuten esimerkiksi murtoluvussa 1/3, josta tiedetään, että desimaalit ovat kolmosia äärettömyyteen asti.

Toinen irrationaaliluku on π (pii). Sitäkään ei voida kirjoittaa täsmällisesti murtolukuna, vaikkakin 22/7 on hyvin lähellä. Kirjoitettuna 15 desimaalilla π = 3,141592653589793.

Irrationaaliluvut, joiden jäljillä Hippasos oli, auttoivat paljon myöhemmin tutkijoita ymmärtämään äärettömyyden käsitettä, mutta ennen sitä lukuisat matemaatikoiden ja fyysikoiden sukupolvet joutuivat vielä painimaan äärettömyyden ongelman parissa.

Tunnetuimpiin esimerkkeihin tästä kuuluvat paradoksit, jotka muotoili vuosina 490–425 eaa. elänyt Zenon Elealainen. Hän kertoi esimerkiksi tarinan tarusankari Akhilleuksesta, jonka piti juosta kilpaa kilpikonnan kanssa.

Akhilleus pystyi juoksemaan kymmenen kertaa niin nopeasti kuin kilpikonna ja antoi siksi jalomielisesti kilpikonnalle etumatkan, joka nykyisissä yksiköissä vastaa sataa metriä.

Zenon väitti, että Akhilleus ei koskaan saa kiinni kilpikonnaa, koska sillä hetkellä, kun sankari ehtii siihen kohtaan, jossa kilpikonna oli juoksun alkaessa, se on ehtinyt jo kymmenen metriä edemmäs.

Ja kun Akhilleus ehtii taas siihen paikkaan, kilpikonna on ehtinyt jälleen metrin pidemmälle ja niin edelleen. Etäisyys pienenee koko ajan, mutta se ei ikinä katoa täysin.

© Science Photo Library

Äärettömästä tulee fysiikassa älytöntä

Gabrielin torvi vähät välittää fysiikasta
Gabrielin torvi on saanut nimensä arkkienkeli Gabrielin mukaan, joka tuomiopäivänä puhaltaa pasuunaansa. Torvi on hyvä esimerkki siitä, miten matemaattiset totuudet menettävät merkityksensä fysiikan maailmaan siirrettynä.

Näin syntyy paradoksi
Koordinaatistoon piirretään ensin käyrä (keltainen), missä y = 1/x. Sen jälkeen pyöräytetään se osa käyrästä, jossa x on suurempi kuin 1, x-akselin ympäri (vihreät nuolet). Tulos on 3-ulotteinen torvimainen kappale (pun.).

Pinta-ala poikkeaa tilavuudesta
Gabrielin torvi ohenee sitä mukaa kuin x suurenee. Jos x:n annetaan kasvaa kohti ääretöntä, kappaleen pinnan ja tilavuuden suhteessa tapahtuu jotain outoa: kappaleen ulko- ja sisäpinnan ala jatkaa kasvamistaan ja tulee äärettömän suureksi. Tilavuus ei kasva samalla tavalla vaan se lähenee lukua pii – ja se on siten äärellinen.

Fyysikoille tämä ristiriitaisuus aiheuttaa ongelman. Se nimittäin tarkoittaa, että vaikka Gabrielin torvi voitaisiin täyttää maalilla, mikään maali ei riittäisi peittämään sen ulko-tai sisäpintaa, koska ne ovat äärettömän suuria.

Zenonin paradokseihin tarttui filosofi ja tiedemies Aristoteles, joka eli vuosina 384–322 eaa. Häntä kiinnosti kovasti äärettömyyden käsite, jota hän käsitteli muun muassa teoksessaan Fysiikka.

Aristoteles tyrmäsi Zenonin paradoksit esittämättä suoria todisteita niitä vastaan. Sen sijaan hän erotti toisistaan ”potentiaalisen äärettömyyden” ja ”aktuaalisen äärettömyyden”.

Erittely kuvastaa Aristoteleen omaa taustaa. Lääkärin poikana hänellä oli konkreettinen ja tieteellinen näkemys luonnosta, ja filosofi Platonin oppilaana hänellä oli samalla abstrakti tapa tarkkailla maailmaa.

Yksinkertaistetusti Aristoteles oli sitä mieltä, että äärettömyys on olemassa, mutta vain yhtenä mahdollisuutena.

On esimerkiksi periaatteessa mahdollista jakaa viiva äärettömän moneen osaan tai jatkaa laskemista äärettömyyteen, mutta käytännössä se ei ole mahdollista.

Potentiaalinen äärettömyys on siis olemassa, mutta aktuaalista äärettömyyttä ei ole.

Aristoteles itse ilmaisi asian näin: ”Luonto kammoaa äärettömyyttä, koska äärettömyys on loputonta ja epätäydellistä ja luonto etsii aina rajoja.”

Onko Zenonin paradoksissa itua?

Vanha kreikkalainen paradoksi käsittelee tarusankari Akhilleuksen ja kilpikonnan kilpajuoksua.

Renessanssin nero joutui luovuttamaan

Lähes 2 000 vuotta Aristoteleen jälkeen hänen tekemänsä erottelun matemaattisen teorian ja fyysisen todellisuuden välillä kyseenalaisti yksi renessanssin suurista ajattelijoista, Galileo Galilei.

Vuonna 1632 Galilei julkaisi yhden tärkeimmistä kirjoistaan, jossa hän vertasi kahta maa­ilmankuvaa: geosentristä, jossa Maa on Aurinkokunnan keskus, ja heliosentristä, jossa Aurinko on keskus.

Kirja kuvasi näiden kahden maailmankäsityksen puolustajan vuoro­puhelua, mutta siitä ilmeni selvästi, että Galilei itse kannatti heliosentristä. Tämä aiheuttikin hänelle myöhemmin suuria ongelmia katolisen kirkon taholta.

Kirja ei kuitenkaan käsittele vain Aurinkokuntaa. Kummankin maailmankuvan edustajat keskustelevat myös matematiikan äärettömyyksistä.

Dialogi paljastaa Galilein pohtineen kokonaislukujen ja niiden neliöiden välistä suhdetta näin: Kun kokonaisluku kerrotaan itsellään, saadaan luvun neliö. Luvun 1 neliö on 1, luvun 2 neliö 4, luvun 3 neliö 9, luvun 4 neliö 16 jne.

Näin huomataan pian, että on olemassa joukoittain kokonaislukuja, jotka eivät ole neliölukuja. Esimerkiksi jo luvuista 1–10 neliölukuja eivät ole 2, 3, 5, 6, 7, 8 ja 10.

Nyt kysymys kuuluu: onko kokonaislukuja enemmän kuin neliölukuja? Äkkiseltään vastaus tuntuisi olevan kyllä, ja johtopäätös olisi siten se, että kokonaislukujen äärettömyys on suurempi kuin neliölukujen äärettömyys.

Galilei kuitenkin esittää lisää todisteita: jokaisella kokonaisluvullahan on oma neliölukunsa, joten siksi kokonaislukuja ja neliölukuja täytyy olla yhtä paljon. Siten nämä äärettömyydet ovatkin äkkiä yhtä suuria. Mikä sitten on oikein?

Galilei luopui paradoksin ratkaisemisesta. Sen sijaan hän päätteli, että äärettömyyksiä käsiteltäessä ei ollut mitään mieltä käyttää ilmaisuja ”suurempi kuin”, ”yhtä suuri kuin” tai ”pienempi kuin”.

Galileita todennäköisesti harmitti, että hän joutui luovuttamaan, sillä hän piti matematiikkaa yleispätevänä tieteenalana. Se ei hänen mielessään ollut vain ihmisen luoma väline maailman kuvaamiseen vaan se juontui itse maailmasta. Hän ilmaisi asian näin: ”Luonnon kirja on kirjoitettu matematiikan kielellä.”

Kirkko julisti Galilein kirjan harhaoppiseksi jo julkaisua seuranneena vuonna, koska Galilei kannatti aurinkokeskistä maailmankuvaa. Kirja oli kahden vuosisadan ajan kielletty katolilaisilta, ja se sallittiin vasta 1835.

Ennen kuin Galilein kirja joutui kiellettyjen listalle, sen oli varmasti lukenut hänen oppilaansa ja ihailijansa Evangelista Torricelli. Torricelli oli sekä fyysikko että matemaatikko, ja oppimestarinsa tavoin myös hän ajautui äärettömyyksien paradoksiin.

Tämä tapahtui, kun hän vuonna 1644 teki laskelmia geometrisesta kappaleesta, joka sittemmin tuli tunnetuksi Torricellin trumpettina eli Gabrielin torvena.

Kummallista kappaleessa on se, että yksinkertaisella matematiikalla voidaan laskea sen pinta-alan olevan äärettömän suuri – ja yhtä helposti voidaan osoittaa sen tilavuuden olevan äärellinen.

Tämä vaikuttaa järjenvastaiselta, sillä se tarkoittaa sitä, että vaikka maalari täyttäisi torven maalilla, maali ei silti riittäisi peittämään torven ääretöntä sisäpintaa.

Jälleen siis esimerkki siitä, miten matematiikka on törmäyskurssilla käytännön fysiikan kanssa.

Matemaatikko väittäisi, että maali voi peittää torven sisäpinnan, kun maali vain on tarpeeksi ohutta niin, että maalipinta voi ohentua loputtomiin. Fyysikko sanoisi, että sellaista maalia ei ole.

© Getty Images

"Luonnon kirja on kirjoitettu matematiikan kielellä."

Galileo Galilei (1564–1642) piti matematiikkaa yleispätevänä tieteenalana. Siksi hänen mielestään äärettömyyksiä täytyi olla luonnossakin.

Jotkin äärettömyydet ovat yhtä suuria

Galilein ja Torricellin seuraajia odottivat monenlaiset haasteet. Galilei jätti jälkeensä ongelman, joka odotti ratkaisuaan 200 vuotta. Ratkaisun esitti lopulta nuori ja lahjakas Georg Cantor.

1870-luvulla, kauan ennen kuin psyykkiset vaikeudet alkoivat, Cantor tarttui Galilein kokonaislukuja ja niiden neliölukuja koskevaan paradoksiin.

Cantor ei tyytynyt Galilein päätelmään, jonka mukaan ei ollut mieltä vertailla äärettömyyksien suuruutta, vaan päätti tehdä asialle jotain.

Cantor käytti esimerkkiä, jonka mukaan jokaiselle luvulle jonosta 10, 20, 30, 40, 50 jne. löytyy pari jonosta 1, 2, 3, 4, 5 jne.

Esimerkiksi voidaan yhdistää pariksi 10 ja 1, 20 ja 2 jne. Tuloksena on pareja, joiden välissä ei ole ”aukkoja”, tai toisin sanottuna: jäseniä on yhtä paljon molemmissa lukujonoissa, jotka siten molemmat ovat äärettömiä.

Sama pätee neliölukuihin 1, 4, 9, 16, 25 jne., parillisiin lukuihin 2, 4, 6, 8, 10 jne. tai parittomiin 1, 3, 5, 7, 9 jne. Kaikki nämä lukujonot – tai joukot – ovat yhtä suuria yksinkertaisesti siksi, että niiden kesken voidaan muodostaa pareja eikä yksikään luku varmasti jää väliin.

Periaatteessa jonojen luvut voidaan luetella – eli joukot ovat numeroituvia – vaikka se ei käytännössä ole mahdollista, koska se veisi kirjaimellisesti ikuisuuden. Sama pätee murtolukuihin ja negatiivisiin lukuihin ja siten kaikkiin rationaaliluvuiksi kutsuttuihin lukuihin.

Hotellissa on aina tilaa vielä yhdelle

Tarina Hilbertin hotellista osoittaa, että niin sanotut numeroituvat äärettömyydet ovat yhtä suuria. Hilbertin hotellissa on äärettömän monta huonetta, ja riippumatta siitä, kuinka monta kertaa sinne tulee ääretön määrä matkailijoita, tilaa riittää aina.

Irrationaaliluvuista suurempi äärettömyys

Cantorin ajattelutapa oli mullistava, sillä hänen menetelmällään voitiin liittää kaksi ääretöntä yhteen. Yksinkertainen esimerkki on parittomien lukujen ääretön joukko ja parillisten lukujen ääretön joukko.

Jos nämä kaksi joukkoa liitetään yhteen, saadaan luonnollisten lukujen ääretön joukko Kaikki kolme joukkoa ovat ilmiselvästi numeroituvia, ja siksi voidaan sanoa, että ∞ + ∞ = ∞.

Nyt pitää muistaa, että yhtälöä ei voida käsitellä samalla tavoin kuin matematiikassa käsitellään tavallisia yhtälöitä. Ei voida esimerkiksi vähentää ∞ yhtäläisyysmerkkien molemmilta puolilta, koska silloinhan saataisiin ∞ = 0, mikä ei tietenkään pidä paikkaansa.

Todistamalla, että numeroituvat äärettömät joukot ovat yhtä suuria, Cantor myös osoitti, että Galilein väittämän vastaisesti voi hyvinkin olla mielekästä vertailla äärettömyyksien suuruutta.

Samalla hän tosiasiassa perusti aivan uuden matematiikan haaran, joka nykyään tunnetaan joukko-oppina.

Georg Cantor ei kuitenkaan lopettanut tähän. Hän ymmärsi, että hänen tapansa tarkastella numeroituvia äärettömyyksiä käsitti vain rationaaliluvut.

Entä sitten irrationaaliluvut, toisin sanoen luvut kuten π tai surullisen kuuluisa √2, jonka vuoksi Hippasos menetti henkensä antiikin Kreikassa?

Irrationaalilukuja ei voida esittää murtolukuina vaan ainoastaan desimaalilukuina, joissa desimaalit jatkuvat loputtomiin. Cantor todisti, että äärettömien desimaalilukujen jono voi sisältää myös äärettömästi yhä pienempiä desimaalilukuja.

Kaikkien irrationaalilukujen välissä voi siten olla äärettömän monta elementtiä.

"Äärettömyyden pelko on ahdas­mielisyyttä, joka tuhoaa mahdollisuuden havaita todellinen äärettömyys."

Georg Cantor (1845–1918) keksi joukko-opin ja uuden tavan käsitellä äärettömyyksiä.

Cantorin todiste tarkoittaa sitä, että kun laajennetaan lukujoukko käsittämään irrationaaliluvut – ja siten sisältämään kaikki reaaliluvut – saadaan toisenlainen äärettömyys kuin käsiteltäessä rationaalilukuja.

Se on ”numeroitumaton” ja siksi se on suurempi – tai Cantorin omalla termillä ilmaistuna mahtavampi.

Käsitettä numeroitumattomasti ääretön voi havainnollistaa ajatus viivasta, joka jaetaan osiin äärettömän monta kertaa, tai tienpätkästä, joka Zenonin paradoksissa Akhilleuksen piti juosta tavoittaakseen kilpikonnan.

Etäisyys pieneni pienenemistään, mutta Zenonin mukaan siitä ei koskaan tullut 0. Cantor oli asiasta eri mieltä. Hänen mukaansa äärettömällä desimaaliluvulla, joka lähenee kokonaislukua, esimerkiksi nollaa, on samat ominaisuudet kuin kyseisellä kokonaisluvulla ja se on siksi sen kanssa samanlainen.

Jos esimerkiksi luku 0,1 jaetaan 10:llä, saadaan ensin 0,01, sitten 0,001, sitten 0,0001 jne.

Jos tämä tapahtuu äärettömän monta kertaa, saadaan luku, joka kirjoitetaan 0,00 … 1. Pisteet edustavat äärettömän suurta määrää nollia.

Toisin sanoen ei koskaan päästä lukuun 1 ja siksi luku on käytännössä pelkkä 0.

Ja siksi Akhilleuksen ja kilpikonnan etäisyydestä tulee tiettynä hetkenä 0, joten Akhilleus sekä saa kiinni että ohittaa kilpikonnan.

Matematiikassa äärettömän merkki on ∞, joka ilmeisesti symboloi itseään häntään purevaa käärmettä.

Cantorin uraauurtavat ajatukset ja todisteet eivät saaneet kaikkien kollegoiden hyväksyntää. Suuri ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré vastusti sinnikkäästi Cantorin työtä ja puhui hänestä ivallisesti: ”Tulevat sukupolvet pitävät joukko-oppia sairautena, josta on tervehdytty.”

Edes Cantorin entisellä opettajalla ja mentorilla, Berliinin yliopiston professorilla Leopold Kroneckerilla, ei ollut mitään hyvää sanottavaa Cantorin tuloksista, päinvastoin hän totesi: ”En tiedä, mikä Cantorin teorioissa hallitsee – onko se filosofia vai teologia – mutta olen varma, ettei niissä ainakaan ole matematiikkaa.”

Kronecker oli siis ammatillisesti täysin eri mieltä entisen oppilaansa kanssa, mutta hänen pahansuopa sanavalintansa viittasi aivan toiseen puoleen Cantorista.

Cantor oli nimittäin syvästi uskonnollinen, ja hänelle oli tärkeää, että hänen matemaattinen työnsä oli sopusoinnussa hänen jumalakäsityksensä kanssa.

Cantorille äärettömyydet eivät olleet vain potentiaalisia mahdollisuuksia, joiden puolesta Aristoteles oli argumentoinut. Ne olivat yhtä ”todellisia” kuin kaikki muukin matematiikassa ja niin kuin kaikki muutkin asiat maailmassa.

Galilein tavoin Cantor ei pitänyt matematiikkaa abstraktina ja ihmisen kehittämänä, vaan Jumalan luoman luonnon perusosana. Ja sen, mitä Jumala oli luonut, se Jumalalla oli myös valta tehdä todelliseksi.

Cantor ilmaisi asian näin: ”Äärettömyyden pelko on ahdasmielisyyttä, joka tuhoaa mahdollisuuden havaita todellinen äärettömyys, vaikka se korkeimmassa muodossaan on luonut meidät ja pitää meidät elossa ja toissijaisissa äärettömissä muodoissaan esiintyy kaikkialla ympärillämme ja jopa asuu sisimmässämme.”

© Shutterstock

Onko olemassa äärettömän paljon täydellisiä lukuja?

Yksi matematiikan vanhimmista ongelmista liittyy niin sanottuihin täydellisiin lukuihin. Lukua sanotaan täydelliseksi, jos se on itseään pienempien tekijöiden summa – laskematta mukaan lukua itseään.

Esimerkiksi 28 on täydellinen luku, koska se on jaollinen luvuilla 1, 2, 4, 7 ja 14, joiden summa taas on 28. Ensimmäiset täydelliset luvut ovat suuruusjärjestyksessä 6, 28, 496, 8 128 ja 33 550 336.

Pythagoralaiset ja sittemmin Eukleides olivat erittäin kiinnostuneita täydellisistä luvuista, ja he pohdiskelivat monia niihin liittyviä ongelmia. Ei tiedetä, mikä ongelma on vanhin, mutta se voi hyvinkin olla kysymys siitä, onko olemassa äärettömän monia täydellisiä lukuja vai ei.

Vastausta ei tiedetä vielä nykyäänkään. Joulukuussa 2003 löydettiin 40. täydellinen luku – luku, joka sisältää yli 12 miljoonaa numeroa.

Ei voida kuitenkaan sulkea pois sitä, että on yhä olemassa monia täydellisiä lukuja, joita ei ole löydetty. Ei myöskään ole täysin selvää, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.

Ennen kuin kukaan alkaa etsiä mahdollisia parittomia täydellisiä lukuja, kannattaa muistaa, että matemaatikot ovat esittäneet niille pari ehtoa: niissä on yli 300 numeroa, ja ne sisältävät ainakin 29 tekijää.

Matemaatikot jakautuivat kahteen leiriin

Kroneckerin ja Cantorin kiista jatkui seuraavat kaksi vuosikymmentä Kroneckerin kuolemaan vuoteen 1891 asti. Kumpikin edusti omaa matemaattista perusnäkemystään, joka jakoi tuon ajan matemaatikot kahteen leiriin.

Cantorille luvut ja matematiikka olivat todellisuutta, ja siihen kuului kaikkien lukujen, myös irrationaalisten, käsittely.

Kroneckerille luvut olivat todellisia vain silloin, kun niiden fyysinen olemassaolo oli mahdollista nähdä. Hänen oli vaikea hyväksyä irrationaalilukuja.

Cantoria piinasi Kroneckerin vastustus, ja se ehkä vaikutti masennuskausiin, joista hän kärsi myöhemmin elämässään. Hän jatkoi työtään matematiikan parissa, mutta uransa loppuaikana Hallen yliopistossa hän vähensi matematiikan osuutta ja keskittyi muihin kiinnostuksensa kohteisiin, filosofiaan ja kirjallisuuteen.

Vähitellen yhä useammat alkoivat arvostaa Cantorin matemaattista työtä ja hänen kehittämäänsä joukko-oppia.

Yksi Cantorin vankimmista kannattajista oli hänen maanmiehensä David Hilbert, joka ei epäröinyt kutsua Cantorin tuloksia ”matemaattisen nerouden hienoimmaksi tuotteeksi ja yhdeksi puhtaasti älyllisen ihmistoiminnan suurimmista saavutuksista”.

Myöhemmin Hilbert loi Cantorin numeroituvista äärettömyyksistä havainnollisen esimerkin, jota kutsutaan Hilbertin hotelliksi. Kuvitellussa hotellissa on äärettömän monta yhden hengen huonetta, joiden numerot ovat 1, 2, 3, 4, 5 jne. Kaikki ovat täynnä. Illalla tulee uusi vieras.

Vastaanottovirkailija ei käännytä häntä pois vaan päättää ratkaista ongelman. Hän pyytää huoneen 1 vierasta siirtymään huoneeseen 2, huoneen 2 vierasta siirtymään 3:een, huoneen 3 vierasta siirtymään 4:een jne.

Näin hän saa aikaan vapaan huoneen, nimittäin huoneen 1, johon uusi vieras asettuu. Matemaattisesti esimerkki osoittaa, että ∞ + 1 = ∞.

Vielä ei hotellissa päästä yörauhaan, sillä pian saapuu bussi, jossa on äärettömän monta matkustajaa.

Myös heille neuvokas reseptionisti järjestää tilaa. Hän herättää jälleen kaikki vieraat ja pyytää heidät siirtymään seuraavaan vapaaseen huoneeseen, jonka numero on parillinen.

Ensin siirtyy huoneen 1 vieras huoneeseen 2, sitten huoneen 2 vieras 4:ään, huoneen 3 vieras 6:een jne. Sen jälkeen turistiryhmän kaikki jäsenet voivat asettua parittomiin numeroihin ja ongelma on ratkaistu.

Kärsivälliset hotellivieraat eivät vieläkään ehdi edes nukahtaa, ennen kuin paikalle tulee äärettömän monta bussia, joissa kaikissa on äärettömän monta matkustajaa.

Nyt reseptionistin täytyy hetki miettiä ratkaisua. Ensin hän pyytää kaikkia siirtymään parittomiin huoneisiin 1, 3, 5, 7, 9 jne. He asuvat nyt siis huoneissa, jotka matemaattisesti voidaan ilmaista 2n – 1, missä n on huoneen numero.

Seuraava turistiryhmä saa huoneet, jotka voidaan ilmaista 2(2n – 1). Kolmas ryhmä saa huoneet, joiden numerot ovat kaksinkertaiset verrattuna edellisen ryhmän numeroihin, siis 4(2n – 1).

Näin virkailija jatkaa jakamalla huoneita seuraaville äärettömän suurille ryhmille – aina äärettömään asti. Tilaa riittää kaikille.

Esimerkillään David Hilbert havainnollisti tärkeän kohdan Cantorin joukko-opista, ja hän käytti sitä ahkerasti luennoillaan. Hilbertin hotelli osoittaa nimittäin, että ∞ + ∞ = ∞ ja että ∞ x ∞ = ∞.

Äärettömyys loi matematiikkaan paratiisin

Hilbertin mielestä joukko-oppi oli matemaattinen neronleimaus. Hän luonnehti asiaa näin: ”Kukaan ei voi karkottaa meitä paratiisista, jonka Cantor on luonut.”

”Meillä” Hilbert varmastikin tarkoitti ”meitä matemaatikkoja”, sillä vaikka Cantorin joukko-oppi tarjosi uuden käsityksen äärettömyyksistä, se ei tuo vastausta siihen, onko ääretöntä todellisessa maailmassa. Fyysisessä maailmassahan ei ole hotelleja, joissa on äärettömän monta yhden hengen huonetta, eikä myöskään busseja, joissa on äärettömän monta istumapaikkaa.

Matemaattiset äärettömyydet voivat silti joissain tapauksissa kuvata luonnon maailmaa yllättävän täsmällisesti ja vieläpä visuaalisesti vakuuttavalla tavalla.

1900-luvun jälkipuoliskolla muidenkin kuin matemaatikkojen parissa tuli laajalti tunnetuksi ja suosituksi uusi matematiikan käsite: fraktaalit.

Fraktaalit ovat kauniita geometrisia kuvioita, jotka perustuvat yksinkertaisiin matemaattisiin yhtälöihin.

Fraktaaleilla on se ominaisuus, että ne vaikuttavat toistavan itseään loputtomiin. Käytännnössä se tarkoittaa sitä, että jos tarkennetaan kuvion pieneen osaan, peruskuvio näyttää tulevan esiin yhä uudelleen.

Tunnetun esimerkin esitti ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch jo vuonna 1904. Se tunnetaan nimillä Kochin käyrä ja Kochin lumihiutale, ja siinä jaetaan tasasivuisen kolmion sivut samalla tavalla yhä uudelleen.

Tuloksena on lumihiutaletta muistuttava tasokuvio, jonka ala on äärellinen mutta piirin pituus ääretön.

Äärettömän pientä ei ole luonnossa

Fraktaalit jäljittelevät luonnon yksityiskohtia

Yksinkertainen fraktaali syntyy, kun tasasivuisen kolmion sivut jaetaan näin:

  • © Shutterstock

    Poista sivun keskimmäinen osa. Korvaa se kärjellä, joka koostuu kahdesta viivasta, joiden kummankin pituus on sama kuin poistamasi osuuden pituus.

  • © Shutterstock

    Toista prosessi kaikissa kolmion sivuissa. Tuloksena on kuusisakarainen tähti.

  • © Shutterstock

    Tee nyt samoin tähden kaikilla sivuilla aina uudestaan. Tuloksena syntyvä kuvio muistuttaa koko ajan enemmän lumihiutaletta.

  • © Shutterstock

    Luonto asettaa rajan

    Fraktaaleissa voidaan loputtomasti zoomata yhä pienempiin yksityiskohtiin, mutta luonnossa pienuudella on raja: Pienin luonnossa esiintyvä ei voi olla pienempi kuin niin sanottu Planckin pituus eli 1,6 x 10-35 metriä.

Vuonna 1967 ranskalainen matemaatikko Benoît Mandelbrot nosti Kochin lumihiutaleen idean jälleen esiin Science-tiedelehden artikkelissa, jossa hän esitti kysymyksen: ”Kuinka pitkä on Ison-Britannian rantaviiva?”

Mandelbrotin kysymyksen ydin oli se, että vastaus riippuu kulloisenkin kartan mittakaavasta. Mitä pienempi mittakaava, sitä enemmän pieniä yksityiskohtia saadaan mukaan ja sitä pidempi rantaviivasta tulee.

Vuonna 1982 Mandelbrot julkaisi teoksen The Fractal Geometry of Nature. Hienot kuviot ja niiden hämmästyttävä yhtäläisyys luonnon rakenteiden kanssa toivat fraktaalit, jotka oikeastaan olivat tiukasti matemaatikkojen alaa, yhtäkkiä kaikkien tietoisuuteen.

Vaikka fraktaalien äärettömyyttä voidaan verrata lumihiutaleisiin, rantaviivoihin tai kaikkeen puunlatvoista kukkakaaliin ja etanan kuoreen, se ei kuitenkaan tarkoita sitä, että fraktaalit kuvaisivat niitä suoraan.

Fraktaalien universumissa ei myöskään ole mitään rajoitusta sille, miten syvälle rakenteisiin voidaan zoomata.

Luonnossa sillä kuitenkin on rajat. Jossain vaiheessa päästään atomitasolle ja atomia pienemmällekin tasolle, toisin sanoen fysiikan pienimpiin rakennuspalikoihin ja pienimpiin olemassa oleviin yksiköihin.

Kvanttimekaniikassa pienuuden alin raja on niin sanottu Planckin pituus, 1,6 x 10-35 metriä. Tässä kohtaa todellisuus toisin sanoen loppuu, kun taas matematiikka voi yhä jatkaa – kirjaimellisesti äärettömiin.

Universumissa on äärettömiä ilmiöitä

Ainoa tieteenala, jolla perinteisesti on ”hyväksyttyä” puhua fysikaalisista äärettömyyksistä, on kosmologia. Universumissa esiintyy niin äärimmäisiä ilmiöitä, että niitä on voitu kuvata vain äärettömyyksien avulla.

Yksi niistä on musta aukko, jonka keskellä painovoima on äärettömän suuri, koska valtava määrä ainetta on puristunut yhteen äärettömän pienelle alueelle.

Ilmiö, jota kutsutaan myös singulariteetiksi, perustuu Albert Einsteinin yleiseen suhteellisuusteoriaan vuodelta 1915. Einstein epäili tosin itse, onko singulariteetteja oikeasti olemassa.

”Mustia aukkoja on siellä, missä Jumala on jakanut nollalla”, väitetään Ein­steinin sanoneen. Se ei ole totta, sillä käsite musta aukko esiteltiin vasta 1960-luvulla ja Einstein kuoli 1955.

Muotoilu kuitenkin tiivistää sen vastahakoisuuden, joka Einsteinilla oli – ja toisilla fyysikoilla on edelleen – fysikaalisia äärettömyyksiä kohtaan.

Toinen kysymys on universumin laajuus. Onko se äärettömän suuri vai onko sillä rajat? 1900-luvun puolivälistä aina 1970-luvulle asti monet fyysikot ja tähtitieteilijät olivat yksimielisiä siitä, että universumi on äärettömän suuri ja sillä on äärettömän pitkä historia.

Tämä pysyvän tilan teoria (steady state), jota edusti kuuluisa brittiläinen tähtitieteilijä Fred Hoyle, joutui kuitenkin asteittain väistymään alkuräjähdysteorian tieltä.

Nykyään useimmat ovat sitä mieltä, että universumi syntyi singulariteetista 13,8 miljardia vuotta sitten ja on sittemmin laajentunut nykyiseen kokoonsa.

Jos alkuräjähdysteoria pitää paikkansa, universumi on loogisesti ajateltuna rajallinen – vaikkakin se tiettynä hetkenä on kasvanut äärettömän nopeasti. Havaintoja rajoittaa se, että valolla on äärellinen nopeus ja se taas määrää, kuinka kauas universumiin voidaan nähdä.

Tähtitieteilijät puhuvat ”näkyvästä universumista”, jonka he ovat laskeneet ulottuvan 46,6 miljardia valovuotta joka suuntaan Maasta. Koskaan ei saada tietää, mitä mahdollisesti on vielä sitä kauempana, koska niin kaukaa valo ei milloinkaan ehdi Maahan asti universumin laajenemisen vuoksi.

Universumin laajuutta koskevaa ongelmaa ei helpota se, että sen muotoa ei tunneta. Jälleen palataan Einsteiniin, joka on sekä tuonut asiasta uutta tietoa että samalla aiheuttanut lisää hämmennystä.

Suurilla etäisyyksillä ei tavallinen kolmiulotteinen käsitys avaruudesta riitä. Tähtitieteen mittapuussa siihen pitää lisätä neljäs ulottuvuus: aika.

© claus lunau

Äärettömän suuri on yhä mahdollista

Universumin raja jää horisonttimme taakse

Valo etenee avaruudessa äärellisellä nopeudella, ja se taas rajoittaa sitä, miten pitkälle maailmankaikkeuteen pystytään näkemään.

Universumilla on siis neliulotteinen muoto, joka on sellaisenaan vaikea nähdä. Ehkä muoto tekee universumista äärettömän laajan, tai ehkä universumi on, kuten Einstein esitti, äärellinen mutta rajaton.

Einsteinin väite vaikuttaa ristiriitaiselta, mutta sen voi ymmärtää ajattelemalla esimerkiksi palloa tai donitsia. Pinta-ala on rajallinen, mutta pintaan voidaan piirtää suora viiva ja jatkaa viivan piirtämistä kohtaamatta missään rajaa.

Vielä ei tiedetä, onko universumin laita näin. Ehkä matematiikka tässäkin poikkeaa fysiikasta. Ehkä äärettömyyksiä ei ole tai sitten niitä ei vain ymmärretä.

Einstein itse on todennut: ”On olemassa kaksi ääretöntä asiaa, universumi ja ihmisen tyhmyys, enkä ole aivan varma universumistakaan.”

Lue myös:

Fysiikan ilmiöt

Siksi suihkuverho liimautuu sinuun

2 minuuttia
Fysiikan ilmiöt

Historia: Kompassineulan heilahdus aloitti uuden aikakauden

9 minuuttia
Fysiikan ilmiöt

RUUTIA & KEMIAA: Näin teet norsun hammastahnaa

2 minuuttia

Kirjaudu sisään

Tarkista sähköpostiosoite
Salasana vaaditaan
Näytä Piilota

Oletko jo tilaaja? Oletko jo lehden tilaaja? Napsauta tästä

Uusi käyttäjä? Näin saat käyttöoikeuden!

Nollaa salasana

Syötä sähköpostiosoitteesi, niin saat ohjeet salasanasi nollaamiseksi.
Tarkista sähköpostiosoite

Tarkista sähköpostisi

Olemme lähettäneet sinulle sähköpostia osoitteeseen . Siinä on ohjeet, joiden avulla voit nollata salasanasi. Jos et ole saanut sähköpostia, tarkista, että se ei ole joutunut roskapostin joukkoon.

Anna uusi salasana.

Nyt sinun pitää antaa uusi salana. Salasanassa pitää olla vähintään 6 merkkiä. Kun olet luonut uuden sanasanan, sinua pyydetään kirjautumaan sisään palveluun.

Salasana vaaditaan
Näytä Piilota