Teoreettinen torvi panee logiikan koetukselle

Kuulin torvesta, jonka pinta-ala on ääretön mutta tilavuus äärellinen. Totta vai tarua?

tiistai 1. syyskuuta 2009

Kysymyksessä on matemaattinen paradoksi, jonka keksi italialainen fyysikko ja matemaatikko Evangelista Torricelli (1608–1647). Hän oli Galileo Galilein oppilas ja tutki tilavuuksien ja käyrien kaaripituuksien määrittämistä menetelmillä, jotka johtivat integraalilaskentaan. Hän loi kuvitteellisen kappaleen, joka tunnetaan nimillä Torricellin trumpetti ja Gabrielin torvi. Se syntyy, kun koordinaatistoon piirretään funktion y = 1/x käyrä, jonka alkupisteenä on x = 1. Kun käyrä pyörähtää x-akselin ympäri, muodostuu torvea muistuttava kappale. Sen kapea pää on äärettömän kaukana, sillä torvi jatkuu loputtomiin x-akselin suunnassa, koska käyrä lähestyy jatkuvasti x-akselia silti koskettamatta sitä. Vaikka Gabrielin torven pinta-ala on ääretön, sen tilavuus on äärellinen: pii. Jos x-akselin yksikkö on 1 cm, torven tilavuus on noin 3,14 cm3. Sen sijaan sen pinta-ala kasvaa jatkuvasti, vaikka x-akselia edettäisiin miten pitkälle tahansa. Ts. jos Gabrielin torvi olisi astia, se voitaisiin täyttää tietyllä määrällä maalia, mutta sen pinnan maalaamiseen tarvittaisiin ääretön määrä maalia. Paradoksi on helposti todistettavissa matemaattisesti, mutta sitä on vaikeaa ymmärtää. Syynä on se, että ääretöntä kaksiulotteista pintaa ja kolmiulotteista tilavuutta ei voi suoraan rinnastaa toisiinsa.

Lue tästä

Ehkä sinua kiinnostaa...

TILAA TIETEEN KUVALEHDEN UUTISKIRJE

Voit ladata ilmaisen erikoisnumeron, Uskomattomat aivot, heti, kun olet tilannut uutiskirjeen.

Etkö löytänyt, mitä etsit? Tee haku tästä: